【速報】OpenAIの新モデル「OpenAI o1」とは？ChatGPTでも利用可能！驚きの性能を解説

【問題（プロンプト）】
n^3 − 7n + 9が素数となるような整数nを全て求めよ。
数学的な論証とともに、日本語で回答をしてください。

【ChatGPT o1-previewの回答】

$n^3 – 7n + 9$ が素数となるような整数 $n$を求めるために、まずいくつかの整数値を代入して調べてみます。

$n=-3$ のとき：

$$(-3)^3 – 7 \times (-3) + 9 = -27 + 21 + 9 = 3$$

これは素数です。

$n=-2$ のとき：

$$(-2)^3 – 7 \times (-2) + 9 = -8 + 14 + 9 = 15$$

15 は素数ではありません。

$n = -1$ のとき：

$$(-1)^3 – 7 \times (-1) + 9 = -1 + 7 + 9 = 15$$

これも素数ではありません。

$n=0$ のとき：

$$0^3 – 7 \times 0 + 9 = 0 – 0 + 9 = 9$$

9 は素数ではありません。

$n = 1$ のとき：

$$1^3 – 7 \times 1 + 9 = 1 – 7 + 9 = 3$$

3 は素数です。

$n = 2$ のとき：

$$2^3 – 7 \times 2 + 9 = 8 – 14 + 9 = 3$$

これも素数です。

$n = 3$ のとき：

$$3^3 – 7 \times 3 + 9 = 27 – 21 + 9 = 15$$

素数ではありません。

$n = 4$ のとき：

$$4^3 – 7 \times 4 + 9 = 64 – 28 + 9 = 45$$

素数ではありません。

$n \geq 4$ のとき：

$n$が 4 以上の整数の場合、$n^3$の項が急激に増加するため、結果として得られる数は非常に大きくなり、素数である可能性は低くなります。同様に、$n \leq -4$ の場合も大きな負の数となり、素数にはなりません。

以上の調査より、$n^3 – 7n + 9$ が素数となるのは以下の場合のみです。

• $n = -3$ のとき、値は 3（素数）
• $n=1$ のとき、値は 3（素数）
• $n=2$ のとき、値は 3（素数）

結論：

$n^3 – 7n + 9$ が素数となる整数 $n$ は、$n = -3, 1, 2$ である。

答え

$n = -3, \quad n = 1, \quad n = 2$

【追加プロンプト】
以下の部分を数学的に正しく論証してください
n が 4 以上の整数の場合、急激に増加するため、結果として得られる数は非常に大きくなり、素数である可能性は低くなります。同様に、
n≤−4 の場合も大きな負の数となり、素数にはなりません。

【ChatGPT o1-previewの回答】

証明：

$n^3 – 7n + 9$ が素数となる整数 $n$を求めるために、$n$の範囲ごとに数学的に検証します。

1. 任意の整数 $n$ に対して、$n^3 – 7n + 9$は 3 の倍数であることの証明

まず、$n$を 3 で割った余りに基づいて場合分けします。

• (i) $n \equiv 0 \pmod{3}$ の場合：

  $n = 3k$と置くと、

  $$n^3 – 7n + 9 = (3k)^3 – 7 \times 3k + 9 = 27k^3 – 21k + 9$$

  これは明らかに 3 の倍数です。

• (ii) $n\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ の場合：

  $n = 3k + 1$と置くと、

  $$n^3 – 7n + 9 = (3k + 1)^3 – 7(3k + 1) + 9$$

  展開すると、

  $$27k^3 + 27k^2 + 9k + 1 – 21k – 7 + 9 = 27k^3 + 27k^2 – 12k + 3$$

  各項を 3 で割ると、余りは 0 になります。

• (iii) $n\equiv 2(\mathrm{mod}3)$ の場合：

  $n = 3k + 2$と置くと、

  $$n^3 – 7n + 9 = (3k + 2)^3 – 7(3k + 2) + 9$$

  展開すると、

  $$27k^3 + 54k^2 + 36k + 8 – 21k – 14 + 9 = 27k^3 + 54k^2 + 15k + 3$$

  これも 3 の倍数となります。

したがって、任意の整数 $n$ に対して、$n^3 – 7n + 9$は 3 の倍数です。

2. $n^3 – 7n + 9$が素数となる場合の特定

$n^3 – 7n + 9 = 3$とすると、

$$n^3 – 7n + 6 = 0$$

この三次方程式の整数解を求めます。

因数分解すると、

$$(n – 2)(n^2 + 2n – 3) = 0$$

さらに二次式を因数分解すると、

$$(n – 2)(n – 1)(n + 3) = 0$$

したがって、解は $n = -3, 1, 2$です。

3. $n\ge 4$ および $n \leq -4$ の場合の検証

• $n \geq 4$ の場合：

  $n\ge 4$ では、$n^3$の項が急激に増加します。$n = 4$を代入すると、

  $$4^3 – 7 \times 4 + 9 = 64 – 28 + 9 = 45$$

  45 は 3 の倍数であり、3 より大きいので合成数です。一般に、$n \geq 4$のとき、$n^3 – 7n + 9 \geq 45$となり、常に合成数となります。

• $n \leq -4$ の場合：

  $n = -4$ を代入すると、

  $$(-4)^3 – 7 \times (-4) + 9 = -64 + 28 + 9 = -27$$

  結果は負の数であり、素数ではありません。一般に、$n \leq -4$ のとき、$n^3 – 7n + 9 \leq -27$となり、素数にはなりえません。

結論

• $n = -3, 1, 2$のときのみ、$n^3 – 7n + 9 = 3$となり、3 は素数です。
• 他の整数 $n$ では、$n^3 – 7n + 9$は 3 の倍数であり、3 より大きい場合は合成数、負の値の場合は素数ではありません。

したがって、数学的に正しく論証しました。