【完全保存版】数学公式一覧と使い方を徹底解説！中学・高校で絶対に覚えるべき重要公式50選

数学の問題を解くとき、「あの公式、どうだったかな…」と手が止まった経験はありませんか？テストや受験では、公式を正確に覚えているかどうかが得点を大きく左右します。しかし、ただ暗記するだけでは応用が利かず、少し問題の形が変わると途端に解けなくなってしまうもの。本当に必要なのは、公式の意味を理解し、使いこなせる力です。

この記事では、中学・高校で学ぶ重要な数学公式50選を体系的に整理し、それぞれの使い方と覚え方のコツを徹底解説します。

中学数学で押さえるべき基本公式20選

中学数学は高校数学の土台となる重要な範囲です。ここで学ぶ公式をしっかり理解しておくことで、高校での学習がスムーズになります。まずは計算の基礎となる公式から、図形・関数まで、中学数学の核となる20の公式を見ていきましょう。

計算分野の必須公式10選

計算分野では、展開や因数分解の公式が最重要です。これらは高校数学でも頻繁に使うため、確実に身につけておく必要があります。以下の表に、特に重要な展開・因数分解の公式をまとめました。

展開・因数分解の基本公式

公式名	式	使用場面
和の平方	(a+b)² = a²+2ab+b²	二次式の展開・因数分解
差の平方	(a-b)² = a²-2ab+b²	二次式の展開・因数分解
和と差の積	(a+b)(a-b) = a²-b²	平方差の計算
x²の係数が1	x²+(a+b)x+ab = (x+a)(x+b)	二次式の因数分解

これらの公式を使いこなすコツは、パターン認識です。例えば「a²+2ab+b²」という形を見たら、すぐに「(a+b)²」と変形できるよう、何度も練習しましょう。平方根の計算では√a × √b = √(ab)、√a ÷ √b = √(a/b)という基本公式も頻出です。また、分母の有理化では√を含む分母を整数化する技術が求められます。

連立方程式では加減法・代入法の手順を公式化して覚えると効率的です。二次方程式の解の公式 ax²+bx+c=0 のとき x=(-b±√(b²-4ac))/2a は、因数分解できない問題で必須となります。これらの計算公式は、次に解説する図形分野でも頻繁に活用されます。

図形分野の核心公式10選

図形分野では、面積・体積の公式と三平方の定理が中心です。平面図形の面積公式として、三角形=底辺×高さ÷2、円=πr²、扇形=πr²×中心角/360が基本となります。立体図形では、柱体=底面積×高さ、錐体=底面積×高さ÷3、球の体積=4πr³/3、球の表面積=4πr²を正確に覚えましょう。

特に重要なのが三平方の定理 a²+b²=c²です。直角三角形の斜辺の長さを求める際に必須で、座標平面上の2点間の距離を求める公式にも応用されます。相似な図形では対応する辺の比がすべて等しいという性質を利用し、比例式を立てて未知の長さを求めます。円周角の定理（円周角は中心角の半分）も頻出です。

高校数学で必ず使う重要公式30選

高校数学では、中学で学んだ基礎の上に、より高度な公式が積み重なります。ここからは分野別に整理して見ていきましょう。

• 数と式：因数分解の高度な公式、二項定理など
• 関数：二次関数、三角関数、指数・対数関数の公式
• 図形と方程式：座標平面、ベクトル、図形の方程式
• 微分積分：導関数、積分の基本公式

それぞれの分野で核となる公式を確実に押さえることが、数学力向上の鍵となります。

数と式・関数分野の公式15選

数と式の分野では、三次式の因数分解公式が重要です。a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)、a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)は頻出パターンです。二項定理(a+b)ⁿの展開では、組み合わせの記号ₙCᵣを使った一般項の公式を理解しましょう。

二次関数では、標準形 y=a(x-p)²+q により頂点(p,q)が分かります。判別式D=b²-4acは、二次方程式の解の個数や二次関数とx軸の共有点の個数を判定する際に使います。三角関数では、以下の基本公式が土台となります。

三角関数の基本公式

分類	公式
相互関係	sin²θ + cos²θ = 1、tanθ = sinθ/cosθ
加法定理	sin(α±β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
2倍角	sin2θ = 2sinθ cosθ、cos2θ = cos²θ – sin²θ
半角	sin²θ = (1-cos2θ)/2、cos²θ = (1+cos2θ)/2

指数法則では、aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ、(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿなどが基本です。対数では、log_a(MN) = log_a M + log_a N、log_a(M/N) = log_a M – log_a N、底の変換公式 log_a b = log_c b / log_c a が重要です。数列では、等差数列の一般項 aₙ=a₁+(n-1)d、和の公式 Sₙ=n(a₁+aₙ)/2、等比数列の一般項 aₙ=a₁rⁿ⁻¹、和の公式 Sₙ=a₁(1-rⁿ)/(1-r) を確実に覚えましょう。これらの関数公式は、次に解説する図形分野とも密接に関連しています。

図形・ベクトル・微積分野の公式15選

座標平面では、2点(x₁,y₁)、(x₂,y₂)間の距離が√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)、中点が((x₁+x₂)/2, (y₁+y₂)/2)となります。直線の方程式は、傾きmと点(x₁,y₁)を通るとき y-y₁=m(x-x₁)です。円の方程式は、中心(a,b)、半径rのとき (x-a)²+(y-b)²=r² となります。

ベクトルでは、内積の公式 a⃗・b⃗=|a⃗||b⃗|cosθ が核心です。成分表示では a⃗=(a₁,a₂)、b⃗=(b₁,b₂)のとき a⃗・b⃗=a₁b₁+a₂b₂ となります。ベクトルの平行条件・垂直条件は、問題解決の鍵となる重要公式です。

微分では、基本的な導関数の公式を覚えましょう。(xⁿ)’=nxⁿ⁻¹、(sinx)’=cosx、(cosx)’=-sinx、(eˣ)’=eˣ、(log x)’=1/x などです。積の微分法(fg)’=f’g+fg’、商の微分法(f/g)’=(f’g-fg’)/g² も頻出です。積分では、∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1)+C、定積分と面積の関係を理解することが重要です。

確率・統計では、順列ₙPᵣ=n!/(n-r)!、組み合わせₙCᵣ=n!/r!(n-r)! の公式が基本です。期待値E(X)=Σxₖpₖ、分散V(X)=E(X²)-(E(X))² の公式も押さえておきましょう。これらの公式を実際に使いこなすための実践的なアプローチを、次のセクションで詳しく見ていきます。

公式を確実に定着させる効果的な学習法

公式を一覧で眺めただけでは、実際の問題で使いこなすことはできません。ここでは、数学公式を確実に定着させ、応用力を高めるための具体的な学習法を紹介します。

• 理解を深める：公式の導出過程を自分で確認する
• 反復練習：典型問題で使用パターンを体得する
• 体系化：公式間の関連性を整理して記憶する
• 応用訓練：初見問題でどの公式を使うか判断する力を養う

公式の意味を理解する学習アプローチ

数学公式の学習で最も重要なのは、公式の意味を理解することです。単なる暗記では応用が利かず、少し形が変わると使えなくなってしまいます。例えば、二次関数の判別式D=b²-4acは、なぜ解の個数を判定できるのでしょうか。それは解の公式の√の中身だからです。このように、公式同士のつながりを理解することで、記憶が定着しやすくなります。

効果的な学習法として、公式の導出を自分の手で行うことをお勧めします。例えば、三平方の定理は正方形の面積を使って証明できます。加法定理は単位円を使って導出できます。一度自分で導出すれば、公式を忘れても再現できるようになります。また、公式がどのような場面で使われるのか、具体例とセットで覚えることも重要です。

実践力を高める演習戦略

公式を使いこなすには、適切な演習が不可欠です。まず基本問題で公式の使い方に慣れ、次に標準問題で複数の公式を組み合わせる練習をします。最終的には応用問題で、どの公式を使うべきか自分で判断する力を養いましょう。

効率的な演習のコツは、間違えた問題を分析することです。公式を思い出せなかったのか、公式の選択を間違えたのか、計算ミスなのか、原因を特定して対策しましょう。また、公式を一覧にまとめた自分専用のノートを作ることも効果的です。重要な公式、間違えやすい公式、使用頻度の高い公式を色分けして整理すると、復習が効率化します。

1. 基本問題で公式の直接適用に慣れる
2. 標準問題で公式の組み合わせパターンを学ぶ
3. 応用問題で公式選択の判断力を鍛える
4. 過去問で実戦的な時間配分を体得する

定期的に公式の確認テストを自分で行うことも有効です。ランダムに公式を選んで、何も見ずに書き出せるか試してみましょう。また、友達と問題を出し合うことで、教える側の理解も深まります。数学公式は、理解と反復によって確実に自分のものになります。

この記事では、中学・高校で学ぶ重要な数学公式50選を体系的に整理し、それぞれの使い方と効果的な学習法を解説しました。公式は単なる暗記の対象ではなく、数学的思考の強力なツールです。意味を理解し、繰り返し使うことで、あなたの数学力は確実に向上します。一つひとつの公式を丁寧にマスターし、数学を得意科目にしていきましょう。応援しています！